この質問は定義・解釈で答えが変わって来ます。

突撃銃＞最初に突撃銃の名が冠された「StG44」になるのでは？

半自動ライフル＞手持資料に記載のあった中で最も古かった物は、試作銃ですが「モーゼルC98」(1898年)という反動利用式の製品でした。実験、研究用も含まれるのであれば、ジョン・Ｍ・ブローニングが1890年頃レバーアクション・ライフルをガス圧を利用した自動式に改造したものがあります。（ハイラム・Ｓ・マキシム｛マキシム機関銃の開発者｝も反動を利用した同じ様な自動銃を作っているので更に10年位溯る可能性もあります。）(yuji)

補足：ブローニングの半自動ライフルのパテントは、1890年1月6日に申請され、1892年3月29日に下りています。(yuji)

実用セミオートライフルならメキシコで設計されたモンドラゴンライフルが最初です。

実家に帰った際に資料を探してきました。ハイラム・Ｓ・マキシムは1884年に自動ライフルを設計、銃に関する最初の特許を取得しています。その前（1881〜84位）にウィンチェスターM1866レバーアクション・ライフルを改造した反動利用式の自動連発銃を製作しています。この方式による改造をトルコが相当数行ったといわれているそうです。世界最初の半自動ライフルはこのマキシムの改造銃になりそうですね。（参考資料「機関銃・機関砲」岩堂憲人著）
yuji